Теория линий передачи: наблюдение коэффициента отражения и стоячей волны

Jul 29, 2023

Различные типы волн в природе ведут себя одинаково. Подобно голосу, доносящемуся эхом со скалы, электрические волны отражаются, когда сталкиваются с изменением импеданса среды, в которой движутся. Отражение волн может привести к интересному явлению, называемому стоячей волной. Стоячие волны необходимы для воспроизведения звука большинством музыкальных инструментов. Например, струнные инструменты не могли бы функционировать без предсказуемости и эффекта усиления стоячих волн.

Однако в радиочастотном проектировании стоячие волны нежелательны, когда мы хотим передать мощность от одного блока к следующему в сигнальной цепи. Фактически, стоячие волны могут влиять на работу различных радиочастотных и микроволновых систем, от безэховых камер до бытовых приборов, таких как микроволновые печи.

Хотя концепции распространения и отражения волн не очень сложны, поначалу они могут показаться немного запутанными. Лучший способ визуализировать, как волны распространяются и отражаются от разрыва, — это построить волновые уравнения для различных конфигураций.

В этой статье мы сначала выведем необходимые уравнения и будем использовать их для объяснения явления стоячей волны на примере нескольких примеров сигналов.

Для начала выведем наши уравнения. Я знаю, это скучно, но они действительно помогают нам понять, как волны распространяются и взаимодействуют друг с другом в линии передачи. В предыдущей статье этой серии мы исследовали синусоидальный установившийся отклик линии передачи и вывели уравнения напряжения и тока. Применяя vs(t) = Vscos(ωt) к линии, волны напряжения и тока будут следующими:

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

Где:

Эти уравнения соответствуют конфигурации, показанной на рисунке 1(а), где положительное направление оси X выбрано от источника к нагрузке. Если мы представим эти волны с помощью их векторов, то волна, бегущая вперед (или падающая), и волна напряжения, бегущая назад (или отраженная), будут соответственно Ae-jβx и Bejβx, как показано на рисунке 1(a).

Что касается проблем с линией передачи, обычно удобнее выбирать положительное направление оси от нагрузки к источнику, как показано на рисунке 1 (b). Чтобы найти новые уравнения, нам нужно заменить x в исходных уравнениях на ld. Как выражено в новой переменной d, бегущая вперед волна принимает вид:

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

Где A1 = Ae-jβl — новая константа. Отсюда вы можете убедиться, что в новой системе координат отраженная волна имеет вид B1e-jβd, где B1 = Bejβl. Поэтому векторы общего напряжения и тока показаны в уравнениях 1 и 2.

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

Эти уравнения упрощают исследование влияния нагрузки на отражение волны, поскольку в этом случае нагрузка находится при d = 0, что упрощает уравнения. Полагая d = 0, на стороне нагрузки получаются следующие уравнения, как видно из уравнений 3 и 4.

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

Например, давайте рассмотрим случай, когда линия прерывается в разомкнутой цепи. При разомкнутом выходе (ZL = ∞) выходной ток, очевидно, равен нулю. Из уравнения 4 имеем A1 = B1, и, таким образом, общее напряжение равно V(d = 0) = 2A1.

Следовательно, для линии разомкнутой цепи отраженное напряжение равно падающему напряжению на выходе, а общее напряжение в этой точке в два раза превышает падающее напряжение. Аналогичным образом мы можем использовать уравнения 3 и 4, чтобы найти отношение отраженной волны к падающей волне для произвольного полного сопротивления нагрузки ZL. Это соотношение является важным параметром, известным как коэффициент отражения, о котором мы вскоре поговорим.

Используя уравнения 1 и 2, мы можем найти отношение напряжения к току (т. е. входное сопротивление линии передачи) в разных точках линии. Это приводит к уравнению 5.